Вычислить двойной интеграл ∫∫ D y^2 dxdy, если область D образует треугольник с вершинами A(4; 0), B(2; -4), C(5; 1).
- Если область интегрирования ограничена слева функцией и справа функцией , а снизу и сверху и соответственно, то двойной интеграл «dxdy» можно найти сначала проинтегрировав по х, а затем по y. Иногда будет целесообразным изменить порядок интегрирования.Пример 4Найти двойной интеграл от функции по области R: треугольник с вершинами в точках (-1,1), (0,0) и (1,1).РешениеЕсли сначала мы попытаемся проинтегрировать функцию по y, то придется разделить область интегрирования на две составляющие ее области и взять два интеграла. Вместо этого, можно сначала проинтегрировать по x. Таким образом, данная область будет ограничена слева x = -y и справа х = y. Пределы интегрирования по y будут y = 0 и y = 1 соответственно. Интеграл выглядит следующим образом: Пример 5Вычислить интеграл РешениеИнтеграл от не вычисляется в элементарных функциях. Поэтому изменим порядок интегрирования. Область интегрирования изображена на рисунке:Сверху область ограничена и снизу y = 0. Вычисляем двойной интеграл сначала по y, а затем по х: является константой по отношению к y. Поэтому:Данный интеграл вычисляем заменой переменных: и :