Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
1 пункт
- Рассмотрим любой не равнобедренный треугольник АВС, у которого высота и медиана из точки В совпадают. Обозначим этот отрезок BD. Рассмотрим треугольники ABD и CBD.* Они прямоугольные, т.к. ВD — высота.* AD=CD т.к. BD — медиана, делит AC пополам.* ВD — общая сторонаСледовательно, треугольники равны по двум катетам.У равных треугольников соответствующие величины равны, значит, AB=BC, а значит треугольник равнобедренный.
Итог: изначально мы предположили, что данный треугольник не равнобедренный, и доказали обратное. Значит, любой треугольник с совпадающей высотой и медианой — равнобедренный. Что и требовалось доказать.