Помогите пожалуйста решить эту задачу.
- Обозначим вершины основания АВС, и вершину пирамиды S. Проведем одну из высот (AD, она же медиана и биссектриса) треугольника АВС. Она равна 8*√(3)*(√(3)/2)=12 см. Поскольку пирамида правильная, высота SO, опущенная из вершины пирамиды на основание, проходит через центр основания (O), (или, что то же самое, через центр вписанной и описанной окружности, который лежит на пересечении медиан треугольника АВС, значит АО=8 см и OD=4 см.
Рассечем пирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через S и AD. В сечении получим треугольник ASD, высота которого SO разбивает его на два прямоугольных треугольника ASO и OSD. В треугольнике OSD угол SOD равен 45° (это и есть угол наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды). Значит треугольник OSD — равнобедренный, и SO (высота пирамиды) равна 4 см. Расстояние между плоскостями оснований цилиндра равно 2 см, значит и расстояние от верхней плоскости цилиндра до вершины пирамиды равно 2 см. В сечении пирамиды плоскостью, в которой лежит верхнее основание цилиндра, получается треугольник А1В1С1, подобный основанию АВС, но с размерами в 2 раза меньшими. Значит, и соответствующие размеры A1O1 и O1D1 будут в 2 раза меньше, т.е. A1O1=4 см, O1D1=2 см. О1D1 является радиусом вписанной окружности, т.е радиусом цилиндра. Итак, имеем цилиндр радиусом 2 см и высотой 2 см. Его объем Пи*2^2*2=8*Пи см^3.