К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, которая параллельна основанию АВ и пересекает боковые стороны АС и АВ в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если MN=20, CM=26.
- Касательная, которая параллельна основанию АВ и пересекает боковые стороны АС и АВ в точках M и N соответственно, образует подобный треугольник СМN.Высота его .Тогда тангенс половины угла С равен 10/24 = 5/12.
Для треугольника СМN окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, будет вневписанной. Её радиус равен:
, где р — полупериметр треугольника СМN.r = ((2*26+20)/2) * 5/12 = 36*5/12 = 15.Высота треугольника АВС равна Н = 24+2*15 = 54.Основание равно 2Htg(C/2) = 2*54*5/12 = 45/
Площадь треугольника АВС равна 1/2*54*45 = 1215.