Докажите теорему о площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (рис. 13.2.1):
S = a · b . Доказательство Пусть ABCD и AB 1 C 1 D – два прямоугольника с общим основанием AD (рис. 13.2.1). Рисунок 13.2.1. Рисунок 13.2.2. Пусть S и – их площади. Докажем, что Разобьем сторону AB прямоугольника на некоторое число n равных частей, каждая из которых равна Пусть m – число точек деления, которые лежат нa стороне AB 1. Тогда Отсюда, разделив на AB , получим
(*)Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD . Они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь Прямоугольник содержит первые m прямоугольника, считая от стороны AD , и содержится в m + 1 прямоугольниках. Поэтому Отсюда (**)Сравнивая неравенства (*) и (**), заключаем, что При этом и – фиксированные числа, а n может быть выбрано сколь угодно большим. Следовательно, неравенство возможно только при Возьмем теперь единичный квадрат, прямоугольник со сторонами 1, a и прямоугольник со сторонами a , b (рис. 13.2.2). Площадь прямоугольника со сторонами 1 и a обозначим Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь и Перемножая эти равенства почленно, получим S = a · b . Теорема доказана.