Стороны оснований и диагональ прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3. Длина бокового ребра равна 4. Найдите объём параллелепипеда.
- Пусть стороны оснований параллелепипеда равны x и 2x, а диагональ равна 3x.По теореме Пифагора диагональ основания (оно является прямоугольником со сторонами x и 2x) равна √x²+4x²=x√5. Теперь рассмотрим диагональное сечение параллелепипеда — прямоугольник, две стороны которого — боковые рёбра, а ещё две — диагонали противоположных граней. Нам известно, что диагональ параллелепипеда, которая будет диагональю этого сечения, равна 3x, одна из сторон — диагональ основания, равная x√5, а вторая сторона — боковое ребро, равное 4. Пользуясь теоремой Пифагора, составим уравнение, из которого найдём x. 9x²=5x²+16 (диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника, диагональ основания и боковое ребро — его катеты). 4x²=16 ⇒ x=2.
Объём прямоугольного параллелепипеда — произведение трёх его рёбер, одно из которых равно 4, второе x=2, а третье 2x=4. Таким образом, V=4*4*2=32.